最佳回答2024-03-13
自然数（例如 1、2、3）、负的自然数（例如 −1、−2、−3）与零（0）合起来统称为整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示为粗体 Z 或 ，源于德语单词 Zahlen（意为“数”）的首字母。
在代数数论中，这些属於有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。
目录
1 分类
2 代数性质
3 有序性质
4 电脑中的整数
5 Z 的基数
6 参见
[编辑] 分类
数学上，在整数集合中，有一些子集有特定术语：
正整数
大於 0 的整数
负整数
小於 0 的整数
非正整数
0 与负整数
非负整数
0 与正整数
然而在日常生活中，整数一般只分为正、负两大类，虽然 0 在数学上非正非负，但实际上也被当成正数般看待。
[编辑] 代数性质
下表给出任何整数 a，b 和 c 的加法和乘法的基本性质。
性质 加法 乘法
封闭性 a + b 是整数 是整数
结合律 a + (b + c) = (a + b) + c
交换律 a + b = b + a
存在单位元
存在逆元
分配律
全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
Z 是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个 1 或 -1 的和。1 和 -1 是 Z 仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z,+）同构。
[编辑] 有序性质
Z 是一个全序集，没有上界和下界。Z 的序列如下：
... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。
整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：
1.若 a < b 且 c < d，则 a + c < b + d
2.若 a < b 且 0 < c，则 a × c < b × c ；若 c < 0，
则 a × c > b × c.
整数环是一个欧几里德域。
[编辑] 电脑中的整数
字组位元数与整数范围之关系 字组
位元数 非带号整数 带号整数 微处
理器
下限 上限 下限 上限
8 0 255 -128 127 8080
Z80
6502
16 0 65535 -32768 32767 8086
80286
32 0 4.29497×109 -2.14748×109 2.14748×109 80386
80486
Pentium 系
680X0
64 0 1.84467×1019 -9.22337×1018 9.22337×1018 Itanium
主条目：整数 (电脑科学)
整数通常是程式设计语言的一种基础资料型态，例如 java 及 C 程式语言的 int 资料类型，然而这种基础资料型态只能表示有限的整数，其范围受制於电脑的一个字组所包含的位元数所能表示的组合总数。当运算结果超出范围时，即出现演算溢位，微处理器的状态暂存器中的溢位旗标（overflow flag）会被设定，而系统则会产生溢位例外（overflow exception）或溢位错误（overflow error）。
电脑可处理带号（signed）及非带号（unsigned）整数，非带号整数不包括负数。由於一般情况下要同时处理正数及负数，带号整数把字组的最高有效位元（msb，即最左边的位元）视为正负号（0代表正，1代表负），而数字则以二补数形式编码，以简化二进制运算的逻辑电路。
即使电脑字组的位元数有限，仍可透过编译器及直译器以软体方式结合不同数目的字组以产生新的资料类型来加以扩展，於是在早期的8位元电脑上可处理16及32位元的整数，而在近代的32位元电脑上则可轻松地处理64位元的整数了。可变长度的整数（例如 bignum）可以储存任意大的整数，条件是有足够记忆体存放。其它类型的整数长度都是固定的，例如某个数目的位元，通常取 2 的某次方（例如 4、8、16 等），或者某个固定位数（例如 9 个位、10 个位）。
相反地，理论上的电脑（例如图灵机）一般可以有无限的容量（但只是可数集）。 本段英文完整版请点此查看
[编辑] Z 的基数
Z 的基数（或势）是 ℵ0，与 N 相同。这可以从 Z 建立一双射函数到 N 来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：
当该函数的定义域仅限於 Z，则证明 Z 与 N 可建立一一对应的关系，即两集等势。
其他回答（6）
又琴谈娱乐
回答时间：2024-03-13
整数集用Z来表示的原因涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。
1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z表示了。
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R
（6）复数集合计作C
参考资料：百度百科-整数集
说游戏的咏德
回答时间：2024-03-13
是为了德国女数学家诺特对环理论的贡献。
1920年，德国女数学家诺特已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。
其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作z，从那时候起整数集就用z表示了。
由全体整数组成的集合叫整数集。它包括全体正整数、全体负整数和零。数学中整数集通常用Z来表示。
在数学中，有正数和负数之分，用数轴表示，起点为原点0，箭头指向方向（一般为右边）的为正数，箭头反向（一般为左边）的为负数；而集合是一种包括若干对象的结构(可以包括0个对象，即空集)。
正整数集可以用符号N+、N*、N1、N>0表示。
其中，N表示自然数集，Z表示整数集，+表示该数集中的元素都为正数，*表示在剔除该数集的元素0(例如，R*表示剔除R中元素0后的数集，即R*=R\{0}=R-∪R+=（-∞，0）∪（0，+∞）)。
奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数。
若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；一个整数的平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。
参考资料来源：百度百科-整数集
柚子娱乐晓丝说
回答时间：2024-03-13
这是查到的信息。
关于整数集Z为什么用
表示整数集呢？这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。
1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用表示了。
影视界飞雪说
回答时间：2024-03-13
好了楼上的不要再答非所问了，关于整数集为什么用Z表示，这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。
诺特,1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。
1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。
★以下内容是关键★：
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1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。
其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z表示了。
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她后来又建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中
总之，整数集的Z是来源于整数环的理论是德国人先创立的，因此该记号起源于德国。
最尚美食
回答时间：2024-03-13
Z的选用，与中文拼音无关。是全球通用的。数学中的符号，就两个原则。一是
优先。谁先提出，得到认可，后面就跟着用。二是方便，谁的符号更实用，更方
便。就会得到大家认可，从而流行。例如数字，中国，印度，希腊都有自己的系
统，但现在只用阿拉伯数字。就是他方便，而且他有0.（汉字的○是后来从阿拉
伯数字0抄来的）。至于那个表示整数集合的Z。是德文字首，不成问
题，但谁最先用，还真不好找。不过可以介绍几个有趣的东西。作为结尾吧。
①1489年，J.Widman（德）最先使用+，-表示加与减。
②1631年，W.Oughtred（英）最先使用×表示乘。
③1659年，J,H,Rahn（瑞士）最先使用÷表示除。
小蓟说游戏
回答时间：2024-03-13
楼上说的都不对
整数集的Z是德文Zahlen（数字）的首字母
而有理数集的Q是英语/德语Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商
同理，实数R代表Real Number(实数)，复数的C代表Complex Number（复数），自然数N代表Natural Number（自然数）
最早使用Z作为整数集的标记的数学家是朗道，用的是Z上加以横杠的记号，而最终确定以Z作为符号的是20世纪30年代法国的布尔巴基（一个数学家秘密会社），在他们的著作《代数》第一章中使用了这个符号。
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